5.10.2008

Historia Abaku

najstarsze metody wykonywania obliczeń matematycznych



Wynalezienie liczb i dokonywanie obliczeń matematycznych wynikło z potrzeby prowadzenia przez rozwijające się cywilizacje transakcji handlowych.
Tylko lokalna i w drobnym zakresie prowadzona wymiana handlowa mogła opierać się na ludzkiej pamięci. Gdy w grę wchodziły umowy o wielkiej wartości zachodziła konieczność spisania ich w formie uwierzytelnionego kontraktu. A do tego konieczne jest jednoznaczne symboliczne przedstawienie ilości. Różne cywilizacje (egipska, elemu, sumeru, majów, chin, kultury basenu morza śródziemnego) w odmienny sposób rozwiązały ten problem, ale zawsze w oparciu o kardynalną zasadę pozycyjnego sposobu liczenia, polegającego na tym, że większa ilość jedności niższego rzędu (5, 10, 12 czy 60) przedstawiano jako pojedynczy element wyższego rzędu.
Sumerowie na przykład ok. 3500 r. p.n.e. przyjęli następujący sposób przedstawiania liczb:


Do dziś zachowały się "zapisy notarialne" - jajowate, opieczętowane naczynia gliniane, zawierające żetony-kamienie (nazwane przez specjalistów "calculi").

I tak, jeśli naczynie zawierało: dwa duże przewiercone stożki, pięć dużych i osiem małych stożków oraz cztery małe kulki, to mamy:

co daje przedstawienie liczby 1548.


Stosunkowo szybko, bo już ok. 3300 r. p.n.e. , na glinianych tabliczkach z terenu obecnego Iranu, pojawiły się symboliczne przedstawienia żetonów, jako element pisma klinowego.

Od tego momentu rachunki podążają dwiema drogami: jedna - obliczenia na fizycznie istniejących, reprezentujących liczbę kamieniach (calculi) i druga - poszukiwanie abstrakcyjnego zapisu liczby w postaci odpowiednio uszeregowanych symboli.


Obliczenia przy pomocy calculi.

Dodawanie i odejmowanie, czyli operację sumowania, każdy wykona intuicyjnie - dołoży lub ujmie odpowiednią ilość żetonów właściwej wagi.

Mnożenie wykonać można dodając do siebie odpowiednią ilość razy mnożoną liczbę. Z tego wniosek, że mnożenie przez niewielką liczbę, choć nieco uciążliwe, to jest wykonalne. Natomiast dodanie kilkadziesiąt razy do siebie danej liczby, może już być niepomiernie trudne.

Dzielenie, ale też jedynie przez niewielkie liczby, przypomina "podział łupów": kamienie najwyższego rzędu rozkładamy na tyle kupek, na ile części dzielimy liczbę; to co zostaje jako reszta "rozmieniamy" i dołączamy do kamieni niższego rzędu i znów dokładamy kolejno do kupek, i tak aż do rozdzielenia kamieni najniższego rzędu. W wyniku otrzymaliśmy pożądaną liczbę kupek o jednakowej wartości żetonów. Wartość żetonów kupki to wynik dzielenia. Kłopot tylko, jeśli pozostała reszta z dzielenia. Dlatego wymyślono stosowanie części ułamkowych: połówek, ćwiartek, części trzecich i dwunastych.

Obliczenia przy pomocy cyfr.

Każda rozwinięta cywilizacja dopracowała się swojej pisemnej notacji liczb i opracowała sposoby wykonywania czterech podstawowych operacji matematycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

W basenie Morza Śródziemnego starożytni wywiedli swoją notację z liczenia na palcach i karbowania znaków na deszczułkach (co przetrwało w niemal całej Europie w kulturach ludowych aż do XIX w.), dlatego do zapisu liczb stosowano symbole jedności, piątki, dziesiątki, a w przypadku wyższych rzędów ich dziesiętne wielokrotności.

Początkowo grecy, a po nich rzymianie nadali symbolom kształt liter. W ten sposób narodził się system liczb rzymskich, w którym I oznacza jedność, V oznacza pięć, X - dziesięć, L - pięćdziesiąt, C - sto, D - pięćset, M - tysiąc. Wyższe wartości zapisywano różnie, w zależności od miejsca i czasu.

W zapisywani liczby przyjęto zasadę pisania od najwyższych wartości do najniższych, czyli wartości najniższego rzędu znajdują się najbardziej po prawej stronie.

Np. liczba : dwa tysiące sto siedemdziesiąt osiem w zapisie rzymskim to

MMCLXXVIII.


Aby nie używać do obliczeń wielu różnych calculi, rachmistrze uprościli sposób przedstawienia liczby i po rozbiciu jej na rzędy oddzielone kreskami,


image



zaczęli używać tylko jednego rodzaju żetonów. Znając wartość rzędu poszczególnych komórek, można w "tysiącach" położyć dwa kamienie, "setkach" - jeden, "dziesiątkach" - siedem, "jednościach" - osiem.

image


Tak narodził się abak ( łać. abacus , od greckiego słowa określającego stół ).

Prosty abak.

Prawdopodobnie początkowo obliczenia wykonywano rysując linie na miałkim piasku przy użyciu drobnych kamyków.

image

Rys.1. Prosty abak z liczbą MMMCXXVII (3127)


Następnie ten sposób przeniesiono na stół z wyciętymi na blacie pionowymi liniami oznaczającymi rzędy, a kamyki, choć dalej zwane calculi, zastąpiły specjalnie wykonane żetony.

Dodawanie to dokładanie następnych calculi w odpowiednich rzędach i porządkowanie stołu poprzez zastąpienie każdych dziesięciu żetonów niższego rzędu jednym żetonem położonym o jeden rząd wyżej.

Odejmowanie polega na ujmowaniu odpowiedniej ilości żetonów we właściwym rzędzie. Jeśli brakowało w rzędzie żetonów, to rozmieniano jeden żeton wyższego rzędu otrzymując w ten sposób zwiększenie ilości żetonów niższego rzędu o dziesięć, co umożliwiało wykonanie odejmowania.

Abak taki wymagał operowania dużą ilością żetonów. Dlatego powstaje odmiana abaku przez rzymian nazwana "mensa pythagoreana" ( "stół pitagorejski" ).

Mensa pythagoreana.


image

Rys. 2. Mensa z przedstawieniem liczby MMMCXXVII (3127)

Calcule zostały zastąpione żetonami oznaczonymi odpowiednią cyfrą.

Rozwiązanie to znalazło sowich zwolenników w średniowiecznej Europie, z tą jedynie zmianą, że rzymskie liczby na żetonach zastąpiono cyframi arabskimi lub "tajemnymi" znakami wywodzącymi swój kształt z cyfr arabskich.

Niedogodnością tego rozwiązania jest to, że wyszukiwanie odpowiednich żetonów na każdym etapie wykonywania działania, bardzo spowalnia pracę.

Abak archaiczny.


image


W porównaniu z prostym abakiem zmiana jest pozornie niewielka - dodano pomiędzy rzędami o wielokrotności dziesięć, pola pięciokrotności.

Kolejno oznaczono:


Dokonana zmiana znakomicie ułatwiła przenoszenie liczby z zapisu tekstowego na stół i odwrotnie. Wyeliminowane zostały pomyłki wynikające ze złego pogrupowania znaków w rzędy.

Abak średniowieczny.


W średniowiecznej europie największym powodzeniem cieszyła się modyfikacja polegająca na innym układzie linii i sposobie rozkładania żetonów.

image


Rys. 3. Abak średniowieczny

Abak składa się z czterech poziomych linii, z których najwyższa oznaczona jest znakiem x.

Kolejne linie oznaczają: najniższa - jedności, druga - dziesiątki, trzecia - setki, oznaczona "x" to tysiące.

image


Rys. 4. Przedstawienie liczby MMMCXXVII (3127)

Żetony ustawiano na liniach. Dla zmniejszenia ilości używanych żetonów wprowadzono zasadę, że postawiony pomiędzy liniami oznacza pośrednią wielokrotność pięć.

Pionową kreskę przez środek stołu stawiani dla oddzielenia od siebie liczb na których wykonywane są działania.

Poziomy układ linii poprawił czytelność przedstawionej liczby, a duża szerokość stołu pozwalała jednocześnie obok siebie przedstawić kilka liczb bez ich pomieszania.

Liczydło rzymskiego calculatora.

image


Calculator to rzymski rachmistrz zatrudniony jako księgowy w domu patrycjuszowskim. Jego praca wymagała używania sprzętu łatwego do przenoszenia i mogącego zachować wynik dokonanych obliczeń.

Liczydło calculatora to deszczułka podzielona na kolumny i wiersze, na skrzyżowaniu których wywiercono otworki - kolumna oznaczała rząd wielkości, natomiast wiersz ilość jednostek w rzędzie. W otworki te wtykano kołeczki i dzięki temu liczba mogła być zapamiętana.







materiały do ilustracji Pokazów Historycznych

wydane nakładem własnym Witolda Łuczyńskiego

kopiowanie i powielanie wyłącznie za zgodą autora

Głogów kwiecień 2008r.

Witold Łuczyński

(wszelkie pytania można kierować na adres: luczynski.witold(et)neostrada.pl )



Powrót do strony głównej