5.10.2008

ABACUS (archaiczny)

(dodawanie i odejmowanie)

Abak to pierwsze w świecie liczydło, na którym można swobodnie wykonywać operacje sumowania (dodawania i odejmowania) oraz posiłkować się nim przy mnożeniu i dzieleniu w systemie liczb rzymskich.

Abak i jego późniejsza wersja - mensa pythagoreana ("stół pitagorejski"), był stosowany w całej średniowiecznej europie aż do momentu upowszechnienia się arytmetyki operującej liczbami arabskimi.

Abacus (z greckiego "stół") to blat podzielony liniami na przedziały oznaczające rzędy wielkości, na których przy pomocy kamieni (rzymskie "calculi") przedstawiano liczbę.

Kolejne przedziały, biorąc od prawej do lewej, oznaczały:


a jeśli potrzeba było to wyższe rzędy oznaczano już różnie np.: vM - "pięcitysiące" , xM - "dziesięciotysiące", lub biorąc liczbę w kolejne nawiasy czy pisząc kreskę nad literą.

PRZEDSTAWIENIE LICZBY

Ponieważ liczba w zapisie rzymskim składa się z symboli o wartości jak na abaku, więc wystarczyło w odpowiednim przedziale położyć taką liczbę kamieni ile razy w zapisie liczby wystąpił dany symbol.

Należy jednak pamiętać, że w skróconym zapisie (gdy symbol mniejszej liczby stoi przed symbolem większej liczby) powrócić należy do zapisu pełnego, np.: CDXIX [ 419] jako CCCCXVIIII

DODAWANIE

Dodawanie liczb na abaku odbywa się następująco: przedstawiamy pierwszą liczbę, poniżej niej przedstawiamy drugą liczbę, następnie łączymy kamienie w każdym przedziale osobno otrzymując nową liczbę, następnie korzystając z tego że:

- pięć kamieni jedności "I" możemy zapisać jednym kamieniem w przedziale "V"

- dwa kamienie "V" możemy zapisać jednym kamieniem "X"

analogicznie: pięć X to L, dwa L to C, pięć C to D, dwa D to M.



Przykład: 2878 + 633

Do liczby MMDCCCLXXVIII należy dodać DCXXXIII.

image


Układamy kamienie liczby MMDCCCLXXVIII.

image


w dolnej części abaku układamy liczbę DCXXXIII

image


w każdym przedziale zbieramy kamienie razem

image


porządkujemy liczbę:

pięć kamieni rzędu "I" zabieramy z pola

image


i zastępujemy jednym kamieniem w rzędzie "V".

image


W polu "V" są dwa kamienie, więc zabieramy je

image


i w polu "X" dodajemy jeden

image


pięć kamieni z pola "X"

image


zastępujemy dodając jeden w "L"

image


dwa kamienie po pięćdziesiąt to sto,

image


dokładamy jeden kamień w polu setek

image


w polu setek zebrało się pięć kamieni, więc zamieniamy je na jedną pięćsetkę, czyli

image


dwa kamienie "D" zamieniamy na jeden "M"

image


dołożenie kamienia w polu "M" kończy dodawanie.

image


Odczytujemy liczbę: MMMDXI [ 3511]

Porządkowanie sumy ułożonych kamieni może być wykonywane w dowolnej kolejności, jednak ze względu na czytelność wykonywanych operacji, warto przeprowadzać je w przedstawionej kolejności , to jest o d jedności w górę, czyli od prawa na lewo.

Wprawni rachmistrze, korzystając z zasady abaku dokonywać mogą dodawania pisemnego, na tabliczce notując obie liczby jako jeden ciąg znaków i następnie sprowadzając zapis do postaci uproszczonej. Oczywiście obie liczby w tym wypadku muszą być zapisane w postaci rozwiniętej (np. zamiast IX musi być VIIII).


Dla powyższego przykładu obliczenia przebiegają następująco:

MMDCCCLXXVIII + DCXXXIII - zapis działania

MM D CCC L XX V III D C XXX III - zapisanie razem

MM DD CCCC L XXXXX V IIIIII - grupowanie

MMM CCCC LL VV I - grupowanie

MMM CCCCC X I - grupowanie

MMM D X I - wynik.

ODEJMOWANIE

Odejmowanie na abaku polega na ujmowaniu tej samej ilości kamieni z obu ułożonych na polach liczb.

Odjemną układamy w górnej części, odjemnik poniżej, w taki sposób, aby kamienie się nie pomieszały. Odjemną należy przedstawić w takiej postaci, aby możliwe było odebranie w każdym przedziale tyle kamieni, ile znajduje się w dolnej jego części. Jeśli brakuje kamieni w górnej części przedziału, musimy "pożyczyć" z wyższego rzędu (np. jeśli brakuje kamieni w rzędzie "X" to zabieramy jeden kamień z rzędu "L" i kładziemy pięć kamieni w rzędzie "X").


Przykład: 528 - 254

image


Ustawiamy odjemną D XX V III

image


pod kreską przedstawiamy odjemnik: CC L IV czyli CC L IIII

image


w rzędzie "I" nie możemy od trzech odjąć cztery, więc pożyczamy z rzędu "V"

image


jeden kamień rzędu "V" zastąpiony został pięcioma kamie-niami w rzędzie "I"

image


teraz można z górnego i dolnego pola ująć po cztery kamienie

image


W rzędach "L" i "C" w górnych polach brakuje kamieni, dlatego pożyczyć można dopiero z rzędu "D"

image


jeden kamień rzędu "D" ma wartość pięciu kamieni rzędu "C"

image


dokładamy pięć kamieni w górnym polu rzędu "C"

image


jeden z kamieni "C" rozmieniamy

image


i dokładamy dwa kamienie w rzędzie "L"

image


teraz można ująć kamienie w rzędzie "L" oraz "C"

image


otrzymany wynik działania to: CCLXXIIII czyli w zapisie uproszczonym CCLXXIV. [274]

Odejmowanie wymaga większej wprawy i uwagi niż dodawanie, mimo iż opiera się dokładnie na tych samych zasadach.
Pisemne odejmowanie, w przeciwieństwie do dodawania, nie jest szybsze od działań na abaku i nastręcza spore trudności.





Od Autora

Zasada archaicznego abaku przenosi się na abak średniowieczny a również na liczydła koralikowe.

Witold Łuczyński



Powrót do strony głównej